最近十年來，我花了不少工夫，在清華大學(xué)聘請(qǐng)了一批世界一流學(xué)者。我很高興地看到，中國的數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)水平蒸蒸日上，有了很大發(fā)展。

今天的講座，我要說的是一件很重要的事，我始終希望能跟我的同事、學(xué)生們分享，這就是中國數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)的前路到底該怎么走。

我們要走的是一個(gè)能夠帶領(lǐng)全世界數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)走向的方向，這才算得上世界第一流。假如做學(xué)問都是跟著人家后面走，那是不能解決重要問題的。目前遇到的所謂“卡脖子”的問題，也是因?yàn)樵诤芏嘀匾獑栴}上，還是跟著別人走。因此今天我想跟大家具體討論，什么是第一流的學(xué)問，特別是第一流的學(xué)問在數(shù)學(xué)領(lǐng)域如何產(chǎn)生。

何為“學(xué)”，何為“問”

首先，學(xué)問有兩個(gè)部分，一個(gè)是“學(xué)”，一個(gè)是“問”?？鬃诱f：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆。”思考其實(shí)就是問。我們中國人擅長考試，學(xué)習(xí)別人提出來的各種方法和技巧，磨煉得很熟。但如果僅僅是善于答題，那么對(duì)科學(xué)的發(fā)展，貢獻(xiàn)并不多。目前，我們雖然不斷地獲得奧數(shù)比賽金牌，但是尚未出現(xiàn)一大批解決偉大數(shù)學(xué)問題的學(xué)者。因此，一定要曉得到底如何做學(xué)問，如何做一流的學(xué)問。

其次，做學(xué)問需要勤奮。沒有基本工具，只靠思考是沒有用的?？鬃诱f“思而不學(xué)則殆”，就是說只思考不學(xué)習(xí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展至今已經(jīng)有兩千五百多年的歷史，先后涌現(xiàn)出了許多天才數(shù)學(xué)家。從歐幾里得、畢達(dá)哥拉斯、阿基米德，到后來的費(fèi)馬、笛卡爾、牛頓、高斯、歐拉、拉格朗日、黎曼、希爾伯特等，一層一層將數(shù)學(xué)這幢大廈搭建得越來越高。無論我們天分多好、多么擅長思考，我們的學(xué)問、創(chuàng)造力都必須以他們的學(xué)問為基礎(chǔ)。微積分就是從阿基米德那個(gè)時(shí)候慢慢發(fā)展，最終由牛頓、萊布尼茨完成。這個(gè)過程是沒辦法跳躍的，每一步都必須建立在前人學(xué)問的基礎(chǔ)上。牛頓曾說：“如果說我看得比別人更遠(yuǎn)些,那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏稀?rdquo;這不是謙虛，他的工作就是在前人的基礎(chǔ)上做出來的。今天，我們要帶領(lǐng)世界學(xué)問的潮流，非將前人的學(xué)問學(xué)好不可，而在這個(gè)過程中，勤奮絕對(duì)重要。

為什么要提出問題

“尋天人樂處，拓萬古心胸”，這是清華大學(xué)求真書院的院訓(xùn)。究其根源，我們所做的學(xué)問，尤其科學(xué)和數(shù)學(xué)，都是與大自然密切關(guān)聯(lián)的。我們要在追尋大自然奧秘的過程中，找到它最有意義、最有樂趣之處。假如我們不了解、不欣賞大自然的奧秘與樂趣，學(xué)問是始終做不好的，這就是“尋天人樂處”。“拓萬古心胸”則是說，做學(xué)問不只是為了拿獎(jiǎng)、做院士，而是希望所作的學(xué)問能夠在科學(xué)史上留下重要的軌跡?！对娊?jīng)》《楚辭》以及李白、杜甫的詩歌，過了上千年，讀起來還是饒有意趣，這是因?yàn)樗麄儗?duì)大自然的美、對(duì)人世喜怒哀樂的描述，讓人至今都覺得親切自然，這就是我說的“天人樂處”。我們做的學(xué)問也要引起后代的共鳴，讓他們曉得我們今天開創(chuàng)的方向、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律有怎樣的重要意義。

我們要考慮整個(gè)學(xué)問向前走的方向到底是什么，應(yīng)該如何去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，這是許多大數(shù)學(xué)家常常思考的問題。大學(xué)問家往往會(huì)提出很多問題。如果不提出自己原創(chuàng)的問題，更多的是解答別人的問題，這不見得是數(shù)學(xué)和科學(xué)的真髓。我以為，重要的是要找出自己的方向?！抖Y記·學(xué)記》說：“善待問者如撞鐘,叩之以小者則小鳴,叩之以大者則大鳴。”這里撞的“鐘”，就是大自然和萬物運(yùn)行的規(guī)律。深入的問題能夠指向大自然奧秘的深處，很快幫助我們引出其他有意義的相關(guān)問題。

由希爾伯特23問說開去

希爾伯特23問是數(shù)學(xué)歷史上一個(gè)非常重要的問題集。1900年8月8日，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特做了題為《數(shù)學(xué)問題》的演講。他認(rèn)為，從19世紀(jì)進(jìn)入20世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們提出一些重要的問題，對(duì)于推動(dòng)學(xué)科進(jìn)步的作用毋庸置疑。他說，一個(gè)學(xué)科能夠產(chǎn)生大量重要問題，才能保持活力。這23個(gè)問題，基本上可以說引領(lǐng)了數(shù)學(xué)界后來50年的發(fā)展。當(dāng)然這23個(gè)問題不是全部由他提出的，也包括從前大數(shù)學(xué)家的問題，比如黎曼等。這些問題迄今未全部解決，但其中部分問題的解決，已經(jīng)促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的重要發(fā)展。

1978年，我在普林斯頓高等研究院組織幾何年特別會(huì)議——微分幾何論壇，帶領(lǐng)一批數(shù)學(xué)家、幾何學(xué)家研究幾何方面主要的方向。會(huì)議最后幾周，我徇眾要求，提出了120個(gè)幾何方面最重要的問題。雖然我提出的問題無法跟希爾伯特23問相提并論，但還是很有意義的——對(duì)當(dāng)時(shí)幾何學(xué)遇到的困難主要在什么地方進(jìn)行思考、指出學(xué)科向前走的方向，以及解決后會(huì)產(chǎn)生什么重要的結(jié)果和影響。從短期來說，一些好的問題可能不會(huì)立即產(chǎn)生很大影響，還需要我們花時(shí)間去消化、去思考。但是，這些問題一經(jīng)提出，往往會(huì)影響到數(shù)學(xué)中某些學(xué)科的方向。我提出的120問促成了一個(gè)重要學(xué)科“幾何分析”的發(fā)端。

當(dāng)時(shí)提出的這些問題，目前已經(jīng)有大概三分之一被解決，大部分都是正面的解決，基本印證了猜想的方向是重要的、是正確的，很多數(shù)學(xué)家在解決這些問題方面也得到了很好的結(jié)果。

好的問題是什么樣的

好的問題讓人豁然開朗。思考這個(gè)問題本身，能發(fā)展出一系列的想法、催生出一系列文章。無論最終是否解決，僅僅推敲、研究這個(gè)問題的過程都很重要。好的問題通常是簡潔、漂亮的。解決了它，其所在領(lǐng)域里許多問題可能都會(huì)隨之解決，就像在長江里面有一塊巨石，將巨石挪開，水流就會(huì)頓時(shí)變得順暢。

能否聽出鼓的面積？

我要舉例的第一個(gè)問題，是關(guān)于聲音和幾何的關(guān)系。

古希臘時(shí)代，人類就認(rèn)識(shí)到聲音由一些基本音組合而成。無論彈鋼琴或是打鼓，敲擊會(huì)產(chǎn)生不同頻率的波動(dòng)，發(fā)出聲音。波動(dòng)由多個(gè)基本波組合而來，對(duì)應(yīng)各個(gè)基本音級(jí)。每個(gè)基本波有固定的頻率，頻率則可由鼓的譜計(jì)算得到。波動(dòng)會(huì)產(chǎn)生很漂亮的圖形，幾何學(xué)家十分重視。

著名的幾何學(xué)家博赫納（Salomon Bochner）提過的一個(gè)問題：我們可否聽出鼓的形狀？這一問題的思想可以追溯至1910年。當(dāng)時(shí)，量子力學(xué)剛萌芽，物理學(xué)家洛倫茲（H.A. Lorentz）提出：是否可以通過鼓聲的譜和頻率估算鼓的面積？希爾伯特對(duì)這個(gè)有趣的問題很感興趣，但認(rèn)為它太難，有生之年，不可能看到它的解決。但過了一年后，希爾伯特的學(xué)生外爾(Hermann Weyl)就把問題解決了。外爾認(rèn)為，譜越來越高，按照量子力學(xué)的觀念，即譜的觀念，可以推測(cè)到局部的幾何變化，從而推導(dǎo)出外爾方程。這是個(gè)很重要的方程，對(duì)今天的數(shù)學(xué)仍然有重要的影響。外爾的思路和方法還可以向前追溯。歐拉花了很多工夫研究在k為正數(shù)時(shí)，1/nk的和，發(fā)展出重要的泛函方程。黎曼將其推廣，寫下了著名的黎曼ζ函數(shù)。這個(gè)劃時(shí)代的工作,影響了數(shù)論的發(fā)展。外爾又推廣了黎曼ζ函數(shù)的思想到一般的空間，用以研究“聽鼓聲估算面積”這一問題，并最終解決。

能否聽出鼓的面積——這個(gè)問題由洛倫茲從物理現(xiàn)象出發(fā)，提出問題，最終由外爾解決。這個(gè)問題簡潔、自然且有趣，而其解決問題的方法最終引發(fā)了幾何學(xué)上不少重要的進(jìn)展。

譜可以視為幾何圖形的量子訊息，事實(shí)上可以得到量子訊息和幾何的關(guān)系。譜向無窮增大時(shí), 得到局部的幾何訊息，包括曲率、面積元等;譜小時(shí)，得到幾何的拓?fù)浠蚴呛暧^訊息。幾何學(xué)家對(duì)幾何圖形最小的譜也有濃厚的興趣。

關(guān)于極小曲面的猜想

我們生活中可以看到很多極小曲面。比如，在盛有肥皂水的盆里，將鐵線放在水中提拉出來，形成的薄薄的肥皂膜，就是極小曲面。而在實(shí)驗(yàn)中，我們可以構(gòu)造更多不同形象的極小曲面。幾何學(xué)家熱衷于了解它們的性質(zhì)。1977年，我提出一個(gè)問題：如何能找到所有完備沒有邊界的極小曲面？經(jīng)過40年的努力，我的同學(xué)米克斯（William Hamilton Meeks III）已經(jīng)基本解決了這個(gè)問題。

我的第二個(gè)猜想更困難，到現(xiàn)在還沒全部解決。我提出，可不可以找到三維球中所有緊致極小曲面？我的朋友勞森（Herbert Blaine Lawson，Jr.）構(gòu)造出一些有趣的例子，被稱作勞森曲面（Lawson Surface）。假如將這個(gè)曲面放在四維空間的單位球里，然后從圓心取直線和這個(gè)曲面的每一個(gè)點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來可得到一個(gè)三維錐，即一個(gè)三維極小流形。這后來成為廣義相對(duì)論中描述時(shí)空的重要工具。我解決的另一個(gè)重要問題——廣義相對(duì)論中的正質(zhì)量猜想，簡單來說，主要方法就是研究肥皂泡在時(shí)空引力下如何變化。

如果把極小流形當(dāng)作一個(gè)鼓面，敲擊后得到一個(gè)譜，那么最小的譜等于多少？1974年，我提出，三維球中的極小曲面第一個(gè)譜λ1等于2。我與很多朋友討論，他們都被這奇妙的猜測(cè)嚇了一跳，卡拉比先生認(rèn)為我很有洞察力。幾年后，有兩位個(gè)數(shù)學(xué)家證明了三維球中的極小曲面最小的譜在1和2中間，這個(gè)答案已經(jīng)在極小曲面的研究中很有用了。

數(shù)學(xué)中的“賦比興”

完成上述猜想的過程中，我的基本方法是，比較兩個(gè)完全不同的觀念,一個(gè)是幾何的觀念，一個(gè)是量子力學(xué)的觀念，最終得出曲面最小的譜等于2，當(dāng)然還有待嚴(yán)格的證明。

數(shù)學(xué)是很奇妙的學(xué)問，它是一個(gè)講推理、講規(guī)則的學(xué)問，通過比較不同的規(guī)則和思想，就可以得到有意義的猜想，這其實(shí)是數(shù)學(xué)研究中的慣用手法。

這與詩經(jīng)里講究的“賦比興”也有著密切的關(guān)系。所謂“比”，即用不同的景物類比，比如楊柳代表離別或者美人的腰肢。講起離別，不免想起《詩經(jīng)》中的“昔我往矣,楊柳依依”，周邦彥筆下“長條故惹行客。似牽衣待話，別情無極”，以及柳永的名句“楊柳岸，曉風(fēng)殘?jiān)?rdquo;，而說到美人的腰肢，則憶起張先的“細(xì)看諸處好。人人道，柳腰身”，這都是緣于柳條細(xì)而柔所作的類比,更有溫庭筠的“柳絲長，春雨細(xì)，花外漏聲迢遞”、周邦彥描寫的“長亭路，年去歲來，應(yīng)折柔條過千尺”……

種種不同的比較，是數(shù)學(xué)中常用的手段。數(shù)學(xué)研究者們應(yīng)該考慮這個(gè)思路，不能只做題目，不能看到數(shù)字就是數(shù)字、看到方程就是方程，它們中間其實(shí)是有很多可以比較、可以關(guān)聯(lián)之處的。

好問題從何而來

好問題從什么地方來，怎樣才能解決它？首先要了解不同的觀點(diǎn)。歷史上，很多大學(xué)問的完成，往往是不同學(xué)問之間碰撞產(chǎn)生的火花促成的。比如前面提到的外爾，他是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，也是一個(gè)偉大的物理學(xué)家，他在量子力學(xué)和幾何學(xué)之間搭建了一座橋梁。而因這座橋梁，也孕育出一批很好的數(shù)學(xué)家，和一個(gè)全新的探究路徑。所以我認(rèn)為，找到自己的方向，是提出好問題的重要途徑。

另外，要解決一個(gè)大問題時(shí)，往往要有很好的工具。工具的發(fā)展是不斷精益求精的過程，每個(gè)新工具又促進(jìn)學(xué)問繼續(xù)發(fā)展。新工具讓我們看到不同現(xiàn)象，提升我們看待問題的深度，促發(fā)我們進(jìn)一步發(fā)展工具。工具越多，越能產(chǎn)生更深刻的、更有效的解決問題的方法。每一次工具的進(jìn)步，都能帶動(dòng)有意義的、重要的、突破性的學(xué)問的發(fā)展。

在伽利略時(shí)代，他觀測(cè)到地球是太陽系里的恒星，引發(fā)了牛頓力學(xué)的發(fā)展。此后，人類看得更遠(yuǎn)。到了20世紀(jì)初期，我們了解到太陽系外還有銀河系，以及不同的星云。每一次跳躍都是伴隨著“望遠(yuǎn)鏡”這個(gè)工具的不斷發(fā)展。數(shù)學(xué)上也同樣如此。

比如費(fèi)馬猜想距今已經(jīng)有300多年的歷史。30年前，英國大數(shù)學(xué)家懷爾斯（Andrew Wiles）才解決了這個(gè)問題。在他之前，幾百年來，大數(shù)學(xué)家們都有興趣來解決這個(gè)問題。費(fèi)馬和歐拉解決了n=3時(shí)的情形，使用了橢圓曲線的方法。19世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枺‥rnst Kummer）,以為自己可以解決費(fèi)馬問題，雖然沒有成功，但他引入了代數(shù)中的重要概念，即理想(ideal)，從而帶動(dòng)一大批其他問題的解決。到了20世紀(jì)，出現(xiàn)了更多不同的方法，其中一個(gè)是由日本數(shù)學(xué)家谷山豐（Yutaka Taniyama)、志村五郎(Goro Shimura)，以及法國大數(shù)學(xué)家韋伊（Andre Weil）提出的谷山-韋伊-志村猜想(Taniyama-Weil-Shimura Conjecture)，成為解決費(fèi)馬猜想的重要工具，最終由懷爾斯解決了這個(gè)300余年的題目。

欣賞數(shù)學(xué)之美的同時(shí)，要欣賞數(shù)學(xué)美與真背后的規(guī)律，通過不斷比較，提出重要的、具有開創(chuàng)性的問題。一個(gè)學(xué)科重要的問題，必須在不斷學(xué)習(xí)中，才能慢慢體會(huì)。

何為偉大的工作

偉大的數(shù)學(xué)家都有一套自己對(duì)學(xué)問的看法（Philosophy），這些系統(tǒng)的、深邃的、嶄新的觀點(diǎn)給古老的數(shù)學(xué)注入新的活力，產(chǎn)生一系列有意義的問題。正如西方戲劇《浮士德》、中國古典名著《紅樓夢(mèng)》一樣，都是由不同部分組成，每個(gè)部分又自成一格，但無論是牡丹還是綠葉，終須大師提綱挈領(lǐng)，方可將零散的部分組合一番，最終形成一幅瑰麗的圖畫。

我們也要?jiǎng)?chuàng)立一個(gè)這樣的綱領(lǐng)。在這綱領(lǐng)的指引下，將各個(gè)不同的學(xué)科分支放在一起，最終構(gòu)建出一座宏偉的大廈。

當(dāng)然，要完成這種宏觀的看法，并非一人一時(shí)之工、一人一時(shí)之問，有時(shí)長達(dá)一個(gè)世紀(jì)，方才看得出這些綱領(lǐng)的威力。

1854年，黎曼給出了幾何學(xué)的一個(gè)綱領(lǐng)。他通過物理學(xué)的等價(jià)原理建造了嶄新的內(nèi)蘊(yùn)幾何，完成了廣義相對(duì)論的重要部分。二十世紀(jì)初期，外爾開發(fā)李群的表示理論和規(guī)范場(chǎng)理論，成為現(xiàn)代理論物理的基礎(chǔ)。韋伊則在上世紀(jì)定下用代數(shù)幾何作為工具硏究數(shù)學(xué)的方向，完成了數(shù)學(xué)歷史上一個(gè)偉大猜想——Weil猜想。我的朋友朗蘭茲（Robert Langlands）五十多年前提出著名的Langlands綱領(lǐng)，用群表示理論研究數(shù)學(xué)，產(chǎn)生了一大批重要的方向和問題。這些工作可謂大氣磅礴。

凡是偉大的工作，都是飽讀文獻(xiàn)、“望盡天涯路”得來的結(jié)果。我在20世紀(jì)70年代開創(chuàng)現(xiàn)代幾何分析時(shí)，主要的信念是用函數(shù)和定義的微分方程來描述空間，又通過幾何來了解函數(shù)和微分方程。

好問題的幾個(gè)特征

數(shù)學(xué)與文學(xué)有相通之處。文學(xué)用簡潔的語言描述我們看到的現(xiàn)象。數(shù)學(xué)也喜歡簡潔。一般來講，假如命題不夠簡潔，則難以深入，當(dāng)然，深入的問題也不一定很簡潔?？偟膩碚f，一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題，要有深度、簡潔、漂亮、有趣。

什么叫深度？深度就是解決一個(gè)問題后，可以引領(lǐng)新的方向，看到更深遠(yuǎn)的圖景。

什么是簡潔、漂亮？在數(shù)學(xué)上，大自然的美景可以通過很簡單的方程解釋清楚。牛頓的方程、愛因斯坦方程、狄拉克方程，都是極簡潔的，總結(jié)了大自然之中很多漂亮的現(xiàn)象，包含了大自然的奧秘。文學(xué)用很簡單的語言描述大自然的景色，讓我們產(chǎn)生心理的共鳴。好的數(shù)學(xué)，也能在我們心里產(chǎn)生共鳴。當(dāng)年，我聽到卡拉比的講話后，產(chǎn)生很大的震撼。我覺得如果能夠了解他提出的猜想，我將解決數(shù)學(xué)里一大片問題。

第一流的問題一定要有深度，同時(shí)本身很漂亮，很有意義，讓人很有興趣。比如龐加萊猜想、費(fèi)馬問題、卡拉比猜想等，都是有深度、有趣味、很簡潔的大問題，是一流的問題。

研究數(shù)學(xué)在于研究數(shù)學(xué)的深度、意義和內(nèi)容。幾十年來，我們看到，有些重要的問題被解決了，最出名的是四色問題（Four color problem），即一張地圖只需四種顏色標(biāo)記就足夠。其解決的最后幾步，是通過計(jì)算機(jī)完成的。但我們對(duì)這個(gè)問題本身的意義，其組合意義、幾何意義，還沒有深入了解。在我看來，這個(gè)問題其實(shí)沒有全部解決，希望以后能夠更深入地了解它?，F(xiàn)在很多數(shù)學(xué)問題，尤其是應(yīng)用數(shù)學(xué)，都是計(jì)算機(jī)算出來的，有時(shí)候可能是對(duì)的，有時(shí)候可能是不對(duì)的。這其中最大的問題是，我們對(duì)問題的結(jié)構(gòu)、對(duì)整個(gè)學(xué)問的結(jié)構(gòu)并不了解，這些尚不能算是第一流的答案，也不可能在工業(yè)界產(chǎn)生引領(lǐng)風(fēng)騷的一流技術(shù)。

對(duì)于一些問題來說，趣味性比深度更大。我也做過類似的問題，比如我48年前完成的一篇小文章，證明了一個(gè)空間，曲率大于0時(shí)，只要不是緊致的，其體積無窮大。雖然不算是個(gè)很有深度的問題，“雖小道，必有可觀者焉”。問題只要有趣味，都可以算是一個(gè)好問題。

提高找出重要問題的能力

我們希望學(xué)生有視野、要用功、要發(fā)問，這是很重要的訓(xùn)練。有視野很重要，跑到高山上以更廣闊的視野看世界。如果沒有工具，就只能遠(yuǎn)望，因此掌握工具也很重要。20世紀(jì)70年代，我為了解決不同的問題，讀了很多書，包括量子力學(xué)、幾何等等，從中獲得了工具,得出了重要的成果。這里我也希望大家做學(xué)問的時(shí)候，一定要一步一步扎實(shí)地走。提出問題是一個(gè)最重要的步驟，提出問題之后還要能夠解決它，就算不能解決，也要探索出新的工具、新的方向。

我認(rèn)為，今天的中國基礎(chǔ)科學(xué)想要發(fā)展，最主要的是提出問題。我們要培養(yǎng)現(xiàn)在的年輕人，幫助他們提高找出重要問題的能力。問一個(gè)有意思的問題，同時(shí)解決它，假如解決的方法是前人沒有走過的路，這個(gè)過程令人滿足，比成為世界上最富有的人還令人高興。這也是我做學(xué)問的感想。

當(dāng)初完成卡拉比猜想之后,我引用了晏幾道的兩句詞“落花人獨(dú)立，微雨燕雙飛”。以此來形容自己的心情。我打算解決卡拉比猜想的時(shí)候，沒有人同意這個(gè)猜想是對(duì)的。“落花人獨(dú)立”說的是，我獨(dú)立地完成它、欣賞它，覺得很滿意。而“微雨燕雙飛”，是描述我的感覺，覺得自己與大自然融合在一起。

我想，做一流學(xué)問的學(xué)者都有類似感受，這就像畫家完成一幅漂亮圖畫之后的心境。我也堅(jiān)持要鼓勵(lì)年輕的學(xué)者，好好地想，學(xué)好的學(xué)問、問好的問題，為探索大自然的奧秘努力，為尋找大自然中的規(guī)律而探討學(xué)問。